Идею мажоритарного декодирования линейных блочных кодов можно продемонстрировать на очень простом примере.

Пусть m – кодируемая информационная последовательность, состоящая всего из одного символа m₀  = 0 или 1, а соответствующее ей кодовое слово помехоустойчивого  (избыточного)  кода  имеет вид U  = ( m₀ , m₀ , m₀ ),  то  есть  ( 000 ), если  m₀ = 0, или ( 111 ), если  m₀ = 1 (код с трехкратным повторением).

Допустим, передано кодовое слово U = (111) и в первом символе произошла одна ошибка, то есть принята последовательность r = ( 011 ).

Вопрос: какая последовательность передавалась, U = ( 000 ) или U = (111)?

Здравый смысл подсказывает, что, скорее всего, передавалось кодовое слово U = ( 111 ), так как в противном случае ошибка должна была бы исказить два символа, чтобы кодовое слово U = ( 000 ) превратилось  в последовательность вида r = ( 011 ).  Может быть, и не отдавая себе отчета в правиле принятия решения (о том, что передавалось), мы приняли решение по большинству – мажоритарно.

В общем случае, для линейных блочных кодов с более сложной структурой, решение будет не таким простым, но идея мажоритарного декодирования – та же: решение принимается по большинству. Как и в жизни, полагается, что большинство дает более правильный ответ.

Рассмотрим более сложный пример – мажоритарное декодирование для (7,4)-кода Хемминга.

Пусть передано кодовое слово (7,4)-кода – U = (U₀ ,U₁ ,U₂ ,U₃ ,U₄ ,U₅ ,U₆ ), символы которого сформированы в соответствии с системой проверочных уравнений (правилом кодирования) вида: 

U₀  =  m₀ ,
U₁  =  m₁ ,
U₂  =  m₂ ,
U₃  =  m₃ ,                                                                 (1.28)
U₄  =  m₀  + m₂  + m₃ ,
U₅  =  m₀  + m₁  + m₂ ,
U₆  =  m₁  + m₂  + m₃ .                                                    

На входе декодера наблюдается принятая последовательность r = (r₀ , r₁ ,  r₂ ,  r₃ ,  r₄ ,  r₅ , r₆  ), и  необходимо ее декодировать, то есть определить вид передаваемой информационной последовательности m .

Поскольку невозможно быть абсолютно уверенными в правильности декодирования, мы можем говорить лишь об оценке информационной последовательности  m*.

Для начала предположим, что ошибок в принятой последовательности r  нет, то есть r = U .

Тогда по принятой последовательности  r  можно легко найти оценку  переданной информационной последовательности m^*, причем не единственным способом.

Во-первых, можно сразу записать 

                                                  m₀ ^*1  = r₀ ,

                                              m₁ ^*1  = r₁  ,                                                                               (1.29)

                                                 m₂^*1  = r₂  ,

                             m₃^*1  = r₃ ,                                                                                                                               

то есть в качестве ответа или результата декодирования, взять первые четыре символа принятой последовательности.

Но это не единственный способ.  Учитывая, что для элементов поля GF(2) справедливо условие  m_i + m_i = 0 ( то есть 1+1 = 0 и 0+0 = 0), можно записать еще несколько систем уравнений для определения m_i*:

     m₀ ^*2  = r₂ + r₃ + r₄ ,                           m₀ ^*3  = r₁ + r₂ + r₅ ,

m₁ ^*2 = r₀ + r₂ + r₅  ,                      m₁ ^*3 = r₂ + r₃ + r₆  ,

                         m₂^*2  = r₀ + r₃ + r₄ ,                           m₂^*3  = r₀ + r₁ + r₅ ,

m₃ ^*2  = r₀ + r₂ + r₄ ;                             m₃ ^*3  = r₁ + r₂ + r₆ ;

                                                                                                                                (1.30)

m₀ ^*4  = r₁ + r₄ + r₆ ,                                              m₀ ^*5  = r₃ + r₅ + r₆ ,

                         m₁ ^*4 = r₀ + r₄ + r₆ ,                      m₁ ^*5 = r₃ + r₄ + r₅ ,

                         m₂^*4  = r₄ + r₅ + r₆  ,                        m₂^*5  = r₁ + r₃ + r₆ ,

m₃ ^*4  = r₀ + r₅ + r₆ ;                                 m₃ ^*5  = r₁ + r₄ + r_{5 .}                   

Таким образом, получилось пять независимых систем уравнений для определения одних и тех же компонент вектора m^*, причем, они будут совместными (иметь одинаковые решения) только при отсутствии ошибок в принятой последовательности r,  то есть при  r  = U. В противном случае решения для  m_i^*, даваемые различными системами, будут разными.

 Однако можно заметить следующее: в выражениях для m_i^* каждый из элементов принятой последовательности r_i  присутствует не более двух раз (то есть не более чем в двух уравнениях из пяти).

Если считать, что в принятой последовательности возможна только одиночная ошибка (а с ошибкой большей кратности этот код не справляется), то ошибочными будут решения не более чем двух уравнений из пяти для каждого из элементов m_i^*, остальные три уравнения дадут правильное решение. Тогда правильный ответ может быть получен по "большинству голосов", или мажоритарно.