Самым простым линейным блочным кодом является (n,n-1)-код, построенный с помощью одной общей проверки на четность. Например, кодовое слово (4,3)-кода можно записать в виде вектора-столбца:

                           = ( m₀, m₁, m₂, m₀+m₁+m₂ ),                                  (1.1)   

где   m_i  -  символы информационной последовательности, принимающие значения 0 и 1, а суммирование производится по модулю 2 ( mod2 ).

Поясним основную идею проверки на четность.

Пусть информационная последовательность источника имеет вид

                            m  = ( 1 0 1 ).                                                         (1.2)

Тогда соответствующая ей кодовая последовательность будет выглядеть следующим образом :

                       U = ( U₀, U₁, U₂, U₃ ) = ( 1 0 1 0 ),                             (1.3)

где проверочный символ U₃ формируется путем суммирования по mod2 символов информационной последовательности   m :

                         U₃ = m₀ +  m₁ + m₂ .                                                         (1.4)

Нетрудно заметить, что если число единиц в последовательности  m четно, то результатом суммирования будет 0, если нечетно — 1, то есть проверочный символ дополняет кодовую последовательность таким образом, чтобы количество единиц в ней было четным.

При передаче по каналам связи в принятой последовательности  возможно появление ошибок, то есть символы принятой последовательности могут отличаться от соответствующих символов переданной кодовой последовательности  (нуль  переходит в единицу, а 1 −  в 0).

Если ошибки в символах имеют одинаковую вероятность и независимы, то вероятность того, что в n-позиционном коде произойдет только одна ошибка, составит

                        P₁ = n× P_ош × (1- P_ош)^n-1                                                                            (1.5)

(то есть в одном бите ошибка есть, а во всех остальных n - 1  битах ошибки нет).

Вероятность того, что произойдет две ошибки, определяется уже числом возможных сочетаний ошибок по две (в двух произвольных битах ошибка есть, а во всех остальных n - 2  битах ошибки нет):

                    P₂ = C_n² × P_ош × (1- P_ош)^n-2  ,                                                                         (1.6)

и аналогично  для ошибок более высокой кратности.

Если считать, что вероятность ошибки на символ принятой последовательности P_ош достаточно мала (P_ош<<1), а в противном случае передача информации не имеет смысла, то вероятность выпадения ровно  l  ошибок составит  P_l @ P_ош^l. 

Отсюда видно, что наиболее вероятными являются одиночные ошибки, менее вероятными — двойные, еще меньшую вероятность будут иметь трехкратные ошибки  и т. д.

Если при передаче рассматриваемого (4,3)-кода произошла одна ошибка, причем неважно, в какой его позиции, то общее число единиц в принятой последовательности  r  уже не будет четным.

Таким образом, признаком отсутствия ошибки в принятой последовательности может служить четность числа единиц. Поэтому такие коды и называются кодами с проверкой на четность.

Правда, если в принятой последовательности  r  произошло две ошибки, то общее число единиц в ней снова станет четным и ошибка обнаружена не будет. Однако вероятность двойной ошибки значительно меньше вероятности одиночной, поэтому наиболее вероятные одиночные ошибки таким кодом обнаруживаться все же будут. 

На основании общей идеи проверки на четность и проверочного уравнения (1.4)  легко организовать схему кодирования - декодирования для произвольного кода с простой проверкой на четность.